数学-复习-线性代数

行列式

基本篇

核心

用尽一切性质化为基本形态。

重要性质

  • 倍加

    利用 某一行 or 邻行(循环队列) 操作。行列式保值

    邻行注意倒序,保证后效。

  • 提因子(倍乘)

    某一行提公因子$k$。适用于乘法的解耦。凑1元。

    抽象行列式:$|kA|=k^{n}|A|$。(多行提取)

  • 手性(互换)

    两行互换,值反号。全反逆序数:$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$;分块逆序数:$(-1)^{mn}$。

  • 单行可拆

    (仅某一行)元素耦合,拆之解耦。行列式一分为二。【单行解耦】

更多:①$|A|=|A^{T}|$,转置保值。②两行成比例一行为0==>|A|=0

基本形态

  • 0极多

    0元多,直接展开。尽量凑0元。(展开勿忘逆序数!!!)

  • 三角(上、下、副;爪)

  • Laplace展开(分块阵)

  • 范德蒙 行列式($1,x_i,…,x_i^{n-1}$)

    $\prod^{组合}(x大-x小)$(指标值的大小)

以上的基本形态可以直接得出结果$\Longrightarrow$向这些形态化简

广义形态

  • 行和相等

    (提公因式),减去第1行(),加到第1列(三角)。(状行列式)

  • 加边解耦

    主项有按列耦合元。加边解耦。【多行解耦

  • 递推关系,数学归纳法(与正整数有关)

余子式

变换公式

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$($A_{ij}$代数)

性质:本行无关性

展开行的元素,与其余子式的值无关。

可用来求(代数)余子式的线性组合。(变系数和。将$A$所在行元素替换成所求系数,求$|A’|$即可)

$\Longrightarrow$特殊地:如果系数恰好是$A$的另一行,则和为0。

综合篇

Cramer法则

克拉默法则:对于非齐次方程组

$A\vec x=\vec b$
  • 若$|A|≠0$,方程有唯一解:$x=\frac{|A_i|}{|A|}$。($A_i$为$A$关于自由项$\vec b$的对应列替换

  • 若$\vec b=0$(齐次),解退化为唯一零解;反之,有非零解则$|A|=0$。【充要】

    解向量一般写为向量:$[a_1,a_2,…,a_n]^T$。

抽象行列式

向量行列式

向量型表示:$|\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n|$。

${\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n}$的线性组合,可等效视为附加了一个矩阵变换。(重要性质保持

变元行列式

行列式中含有变元,构成函数。(可能涉及微积分)

证明$|A|=0$

$\Longleftrightarrow$
  1. 平凡推导:$|A|=k|A|(k≠1)$
  2. $Ax=0$有非零解(须构造解向量)
  3. $A$不可逆反证
  4. $A$有0特征值(不满秩)
  5. $A$的向量组$[\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n]$线性相关

More:$\vec A=\vec 0$ 推出 $|A|=0$,反之不成立

矩阵

基本篇

核心

矩阵具有系统性。(算子作用于所有元

矩阵算子

乘法:$A×B$

$A_{m×s}·B_{s×n}=C_{m×n}$

矩阵的乘法,本质是广义内积

特殊交换:$AA^=A^A$,$AA^{-1}=A^{-1}A=E$。

乘幂:$A^n$

分离向量,化为内积。(降维)

若$A$所有行向量成比例,必能分离。(即$r(A)=1$;若$r(A)>1$,需要找规律

$\Longrightarrow$即:$A=\vec |(列)×\vec—(行)$;$a=\vec—(行)×\vec |(列)$。

展开$A^n$,按结合律,可得 $A^n=\vec |×a^{n-1}×\vec —=a^{n-1}A$。

若A可分离为$A=E+B$,B为主元素为0的三角阵($B^n\longrightarrow 0$),可二项展开

伴随:$A^*$

$A^*=[A_{ij}]^T$(竖着写),即转置代数余子式矩阵。

求逆:$A^{-1}$

  • 伴随矩阵法:$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$(先求行列式$|A|≠0\Longleftrightarrow A$可逆)

    可用来快速求2阶阵的逆。(主对调,副变号,再乘$|A|^{-1}$)

    重点:3阶阵求逆

$AA^*=A^*A=|A|E$
  • 初等行变换(互换、倍乘、倍加;方程组求解)
$[A|E]\longrightarrow [E|A^{-1}]$

最后应验证$AA^{-1}=E$。

行列式:$|A|$

行列式可视为矩阵的一个特殊算子。

注:$|AB|=|A||B|$;$|A^*|=|A|^{n-1}$。

应用篇

分块矩阵

分块矩阵的算子规律具有继承性

矩阵方程

向量

方程组

相似矩阵

二次型

Reference

张宇-线性代数9讲

基本数学公式语法(of MathJax)

MathJax basic tutorial and quick reference

Latex所有常用数学符号整理

0%