m×n矩阵的行列式

Introduction

今天死活睡不着。。。一直在半梦半醒的状态到5点钟。

只好爬起来。在半梦半醒之中,偶然想到了行列式,众所周知,行列式都是方阵,$n \times n​$。

那么,存不存在$m \times n$的行列式呢?甚至,如何求解呢?

有了这个想法以后,我决定从行列式的几何意义出发。

  • 2阶行列式,代表了2个2维向量张成的面积张,即伸展
  • 3阶行列式,代表3个3维向量张成的平行六面体的体积
  • 1阶行列式,代表了1维向量的长度
  • ……

越想越兴奋。


从2、3维出发~

由于矩阵可以转置,行列式不变(不证),因此,以下默认$m<n$

叉积的行列式表示:(向量$\vec u = [a,b,c]$和$\vec v=[d,e,f]$得到$\vec w$)

$\vec w$的长度一般可以等效地看作:

(不作证明。前提是$\vec u$,$\vec v$与$[0,0,1]$线性无关)

那么!难道,不就是下面的式子吗?。。。

推广!!!


一般规律

对于任意的$m \times n$矩阵A,

先采用Guass消去法,得到行阶梯矩阵B(此时$a_{ij}$的值可能已经发生变化。and不考虑不满秩的情况~)

然后为该矩阵补上n-m个线性无关的单位行向量,按照方阵行列式求解即可(将$B_{more}$称为B的补充矩阵

完美求解!

广义迹

实际上,由(5)、(6)式,容易看出,行阶梯矩阵中的阶梯角上的元素之积就是所求值。

因此,行阶梯矩阵中的阶梯角上的元素之和可以被称为广义迹。

广义特征值

既然存在广义行列式,广义迹,那么难道不应该存在广义特征值吗?

特征值只需满足$|\lambda E - A|=0$。

但$E$的一般定义只有方阵,因此我们需要额外得到关于A的广义相关单位矩阵$E_A$。

即有

显然,$E_A$满足,

  • $m \times n$
  • 与A的状态有强烈相关性

结合(5)式及其前后的推导过程,我们不难得到,

可以代入验证,此时(7)式在$\lambda_i$处成立,且$\lambda_i$的取值就是(6)式结果中的因子。

我们知道了A的特征值。

可不可以进一步求A的特征向量呢?

……似乎引申出了一种广义的特征变换。(相似变换)

特征变换可以将不同维度的向量联系起来,即,$\xi_n$和$\xi_m$关于A矩阵相似

我们不妨这样思考,按照(4)、(5)、(6)式的变换,求得A的补充矩阵$A_{more}$。显然,必有

(由定义,补充矩阵必是方阵)

现在,我们需要验证是否有$\xi_n = \xi^{‘}_n$。若成立,则$\xi_m$也必然是$\xi_n$的分量。

由一般性的方阵特征向量的属性(如方程组的解向量),容易知道,$\xi_n = \xi^{‘}_n$是成立的。

显然,$\xi_n$和$\xi_m$是相似的,它们关于A的分量相同。称,$\xi_n$根据变换法则$A$相似变换到$\xi_m$。


(线性)特征变换/相似变换

前面我们都默认了$m<n$。根据转置规律,总可以保证成立。

但是这时,对于(9)式而言,总是从更向量相似变换到更向量

因此,不由得会思考,是否可以从更向量相似变换到更向量呢?

比如,可以举出例子:

特征值:1,从$[0,k]^T$变换到$[0,k,k]^T$。($k$为任意实数)

同时,也有

特征值:1,从$[0,k,0]^T$变换到$[0,k]^T$。

求解过程可以参考之前的分析。这里省略。

如何推广?留待思考~

Reference

None.


PS.写之前百度了一下,发现已经有人做过这方面的工作了,“广义行列式”。有论文发表,但写得过于枯燥。。。处理方法也与我所想不甚相同。

于是把自己的想法记下来了~

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